Giáo dụcLớp 7

Giải Toán 7 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Giải bài tập SGK Toán 7 trang 59, 60 Tập 2 giúp các em học sinh lớp 7 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu phần Hình học 7 Chương 3.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 59, 60 Toán lớp 7 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 7 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Mời các bạn cùng theo dõi bài tại đây.

Bạn đang xem: Giải Toán 7 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Lý thuyết Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

1. Khái niệm đường thẳng vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:

• Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

• Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

• Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC

• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC

• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

AB = AC ⇔ HB = HC

Giải bài tập toán 7 trang 59 tập 2

Bài 8 (trang 59 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?

a) HB = HC;

b) HB > HC;

c) HB < HC.

Xem gợi ý đáp án

Dựa vào hình vẽ, ta có:

AB, AC là hai đường xiên kẻ từ A đến BC.

HB là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng BC.

HC là hình chiếu của đường xiên AC trên đường thẳng BC.

Mà AB < AC nên HB < HC (Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn).

Vậy c) đúng.

Bài 9 (trang 59 SGK Toán 7 Tập 2)

Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, …(hình 12).

Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?

Xem gợi ý đáp án

+ Nhận thấy các điểm A, B, C, D, … cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là đường thẳng d.

+ Theo định nghĩa:

MB, MC, MD, … là các đường xiên kẻ từ M đến d.

MA là đường vuông góc kẻ từ M đến d

AB là hình chiếu của đường xiên MB trên d

AC là hình chiếu của đường xiên MC trên d

AD là hình chiếu cùa đường xiên MD trên d

+ Theo định lý 1, MA là đường ngắn nhất trong các đường MA, MB, MC, …

+ Theo định lý 2: AB < AC < AD < … nên MB < MC < MD < … (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).

Vậy MA < MB < MC < MD < … nên bạn Nam đã tập đúng mục đích đề ra.

Bài 10 (trang 59 SGK Toán 7 Tập 2)

Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.

Xem gợi ý đáp án

Giả sử ΔABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM ≤ AB; AM ≤ AC.

– TH1 : Nếu M ≡ B hoặc M ≡ C (Kí hiệu đọc là trùng với) thì AM = AB = AC.

– TH2 : Nếu M nằm giữa B và C và M ≠ B; M ≠ C.

Kẻ AH ⊥ BC tại H

+ Nếu M ≡ H ⇒ AM ⊥ BC tại M hay AM là đường vuông góc từ A đến BC.

Mà AB, AC là các đường xiên từ A đến đường thẳng BC.

Theo định lí 1 : Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường thẳng vuông góc là đường ngắn nhất.

⇒ AM < AB và AM < AC.

+ Nếu M ≠ H giả sử M nằm giữa H và C ⇒ MH < CH.

Vì MH và CH lần lượt là hình chiếu của đường xiên MA và CA trên đường BC

Mà MH < CH ⇒ MA < CA (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).

Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B

Vậy mọi vị trí của M trên cạnh đáy BC thì AM ≤ AB = AC

Bài 11 (trang 60 SGK Toán 7 Tập 2)

Một cách chứng minh khác của định lí 2:

Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:

Nếu BC < BD thì AC < AD

Hướng dẫn:

a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?

b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?

Xem gợi ý đáp án

a)\widehat{ACD} là góc ngoài tại C của ∆ABC nên \widehat{ACD}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}

Do đó \widehat{ACD}> \widehat{ABC}.

\widehat {ABC} = {90^o} tức là \widehat{ACD}>{90^o} hay \widehat{ACD} là góc tù.

b) Trong tam giác ACD có \widehat{ACD} là góc tù

Mà AD là cạnh đối diện với góc ACD.

Suy ra AD là cạnh lớn nhất trong tam giác ACD (cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất trong tam giác).

Nên AD > AC hay AC < AD

Vậy Nếu : BC < BD thì AC < AD.

Bài 12 (trang 60 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho hình 14. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.

Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.

Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không?

Xem gợi ý đáp án

Dựa vào hình 14 ta nhận thấy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó.

Vì vậy muốn đo bề rộng của một tấm gỗ chính là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ.

Cách đặt thước như trong hình 15 là sai.

Bài 13 (trang 60 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho hình 16. Hãy chứng minh rằng:

a) BE < BC;

b) DE < BC.

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có: BE, BC là hai đường xiên vẽ từ B đến đường AC.

BA ⏊ AC tại A nên A là hình chiếu của B trên AC

⇒ AE, AC lần lượt là hình chiếu của BE, BC trên AC.

Trong hình vẽ E nằm giữa A và C ⇒ AE < AC ⇒ BE < BC (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).

b) Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB

Ta có: ED, EB là hai đường xiên vẽ từ E đến đường AB

EA ⏊ AB tại A nên A là hình chiếu của E trên AB.

⇒ AD, AB lần lượt là hình chiếu của ED, EB trên AB

Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB nên ED < EB hay DE < BE (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).

Kết hợp với kết quả câu a suy ra DE < BE < BC ⇒ DE < BC.

Bài 14 (trang 60 SGK Toán 7 Tập 2)

Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6 cm.

Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?

Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?

Xem gợi ý đáp án

* Vẽ hình:

– Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6cm.

+ Vẽ đoạn thẳng QR = 6cm.

+ Vẽ cung tròn tâm Q và cung tròn tâm R bán kính 5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại P.

+ Nối PQ và PR ta được tam giác cần vẽ.

– Vẽ điểm M : Vẽ cung tròn tâm P bán kính 4,5cm cắt QR (nếu có) tại M.

Vậy ta có thể vẽ được 2 điểm M trên đường thẳng QR để PM = 4.5cm

Kẻ đường cao PH của ΔPQR

Xét hai tam giác vuông tại H: ΔPHQ và ΔPHR có

PH chung

PQ = PR ( = 5cm)

⇒ ΔPHQ = ΔPHR (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ HQ = HR (Hai cạnh tương ứng)

Mà HQ + HR = QR = 6 cm

HQ\ =\ HR\ =\ \frac{1}{2}QR\ =\ \frac{1}{2}.6\ =\ 3 (cm)

+ ΔPHR vuông tại H có PR2= PH2+ HR2(định lí Py – ta – go)

⇒ PH2= PR2– HR2= 52– 32= 16 ⇒ PH = 4cm .

Đường vuông góc PH = 4cm là đường ngắn nhất trong các đường kẻ P đến đường thẳng QR.

Vậy chắc chắn có đường xiên PM = 4,5cm (vì PM = 4,5cm > 4cm) kẻ từ P đến đường thẳng QR.

+ Lại có : HM, HR lần lượt là hình chiếu của các đường xiên PM, PR trên đường thẳng QR.

Mà PM < PR ⇒ HM < HR = HQ (đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn).

⇒ M nằm giữa H và Q hoặc H và R

⇒ M nằm trên cạnh QP và có hai điểm M như vậy.

Đăng bởi: PPE.Edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục, Lớp 7

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button