Giải Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

ppedu 19/06/2022

0 6 phút

Giải bài tập SGK Toán 7 trang 66, 67 giúp các em học sinh lớp 7 em gợi ý giải các bài tập của Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác thuộc chương 3 Hình học 7.

Tài liệu giải các bài tập với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 66, 67 Toán lớp 7 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 7 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm đề thi học kì 2 môn Toán. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết tại đây.

Bạn đang xem: Giải Toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Lý thuyết Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

a. Đường trung tuyến của tam giác

Hình minh họa:

– Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC. Đôi khi, đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.

– Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh và trung điểm cạnh đối diện

b. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2

Bài 23 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH.

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

$\dfrac{DG}{DH}= \dfrac{1}{2}; \dfrac{DG}{GH}= 3$

$\dfrac{GH}{DH}= \dfrac{1}{3}; \dfrac{GH}{DG}= \dfrac{2}{3}$

Xem gợi ý đáp án

G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Ta có:

$\dfrac{{DG}}{{DH}} = \dfrac{2}{3}$ nên ta có $DG = 2a;DH = 3a\left( {a > 0} \right)$

Suy ra GH = DH – DG = 3a – 2a = a

Từ đó ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{{DG}}{{GH}} = \dfrac{{2a}}{a} = 2;\dfrac{{GH}}{{DH}} = \dfrac{a}{{3a}} = \dfrac{1}{3};\\ \dfrac{{GH}}{{DG}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \end{array}$

Vậy khẳng định $\dfrac{GH}{DH}= \dfrac{1}{3}$ là đúng.

Các khẳng định còn lại sai.

Bài 24 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a) MG = … MR; GR = … MR; GR = … MG

b) NS = … NG; NS = … GS; NG = … GS

Xem gợi ý đáp án

Từ hình vẽ ta thấy: S, R lần lượt là trung điểm của MP; NP nên NS và MR là hai đường trung tuyến của tam giác MNP.

G là giao của hai đường trung tuyến nên G là trọng tâm của ΔMNP, do đó ta có thể điền như sau:

a) $MG =\dfrac{2}{3} MR ; GR = \dfrac{1}{3} MR ; GR =\dfrac{1}{2} MG.$

b) $NS =\dfrac{3}{2} NG; NS =3GS; NG =2GS.$

Ta chứng minh:

a) Vì G là trọng tâm của ΔMNP nên theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{{MG}}{{MR}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MG = \dfrac{2}{3}MR\\ \Rightarrow GR = MR - MG = MR - \dfrac{2}{3}MR = \dfrac{1}{3}MR \end{array}$

Từ đó suy ra:

$\dfrac{{GR}}{{MG}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}MR}}{{\dfrac{2}{3}MR}}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow GR = \dfrac{1}{2}MG$

b) Vì G là trọng tâm của ΔMNP nên theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{{NG}}{{NS}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow NG = \dfrac{2}{3}NS;NS = \dfrac{3}{2}NG\\ \Rightarrow GS = NS - NG = NS - \dfrac{2}{3}NS = \dfrac{1}{3}NS\\ \Rightarrow NS = 3GS\\ \dfrac{{NG}}{{GS}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3}NS}}{{\dfrac{1}{3}NS}} = 2 \Rightarrow NG = 2GS \end{array}$

Bài 25 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Biết rằng: Trong một tam giác vuông. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Pitago cho ∆ABC vuông tại A ta có:

$\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & B{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \cr} \Rightarrow BC = 5\,cm.$

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, do đó $AM = \dfrac{1}{2} BC$ (1) (Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền).

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG = $\dfrac{2}{3} AM$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$AG =\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} BC \Rightarrow AG = \dfrac{1}{3} BC = \dfrac{1}{3}.5 =\dfrac{5}{3}\,(cm).$

Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2: Luyện tập

Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Xem gợi ý đáp án

Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN.

Ta có: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A)

⇒ AM = AN.

Xét ΔABM và ΔACN có:

AM = AN

AB = AC

Góc A chung

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Bài 27 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Xem gợi ý đáp án

Giả sử ta đưa về bài toán: Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Biết BM=CN, chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Vì ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC.

$\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BM; GC = \dfrac{2}{3}CN.$

Mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC nên ∆GBC cân tại G.

$\Rightarrow \widehat{GCB} = \widehat{GBC}$ (Tính chất tam giác cân).

Xét ∆BCN và ∆CBM có:

+) BC là cạnh chung

+) CN = BM (giả thiết)

+) $\widehat{GCB} = \widehat{GBC}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆BCN = ∆CBM (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{NBC} = \widehat{MCB}$ (hai góc tương ứng).

⇒ ∆ABC cân tại A (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân) (điều phải chứng minh).

Bài 28 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Xem gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

a) Xét ∆DEI và ∆DFI có:

+) DI là cạnh chung

+) DE = DF (vì ∆DEF cân tại D)

+) IE = IF (DI là trung tuyến)

Vậy ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ∆DEI = ∆DFI (theo câu a) nên $\widehat{DIE} =\widehat{DIF}.$

Mà $\widehat{DIE} +\widehat{DIF} = 180^o$ ( hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{DIE} =\widehat{DIF}=\dfrac{180^0}{2}= 90^o$

Vậy các góc DIE và góc DIF là những góc vuông.

c) I là trung điểm của EF nên $IE = IF =\dfrac{{EF}}{2} = \dfrac{{10}}{2}= 5\,cm.$

Áp dụng định lí Pytago vào ∆DEI vuông tại I (do theo câu b góc DIE vuông) ta có:

$\eqalign{ & D{E^2} = D{I^2} + E{I^2} \cr & \Rightarrow D{I^2} = D{E^2}-E{I^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,D{I^2}\, = {13^2}-{5^2} = 144 \cr & \Rightarrow DI = 12\,\,cm \cr}$

Bài 29 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:

GA = GB = GC

Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26.

Mời bạn tham khảo lời giải bài 26

Xem gợi ý đáp án

Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.

Khi đó AM, BN, CP đồng quy tại trọng tâm G.

Ta có: ∆ABC đều suy ra:

+ ∆ABC cân tại A ⇒ BN = CP (theo chứng minh bài 26).

+ ∆ABC cân tại B ⇒ AM = CP (theo chứng minh bài 26).

⇒ AM = BN = CP (1)

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:

GA = 2/3 AM; GB = 2/3 BN; GC = 2/3 CP

Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

Bài 30 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Xem gợi ý đáp án

a) Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.

⇒ AM, BN, CP là các đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:

GB = 2/3.BN (1)

GA = 2/3.AM, mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) ⇒ GG’ = 2/3.AM (2)

GM=1/2.AG, mà AG=GG’ ⇒ GM=1/2.GG’ ⇒ M là trung điểm của GG’ hay GM = G’M .

Xét ΔGMC và ΔG’MB có:

GM = G’M (chứng minh trên)

góc GMC = góc BMG

MC = MB

⇒ ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c)

⇒ GC = G’B (hai cạnh tương ứng).

Mà CG = 2/3.CP (tính chất đường trung tuyến) ⇒ G’B = 2/3.CP (3)

Từ (1), (2), (3) ta có : GG’ = 2/3.AM , GB = 2/3.BN, G’B = 2/3.CP.

b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với các cạnh của ∆ABC.

– Ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’

Mà M là trung điểm của BC nên $BM = \dfrac{1}{2} BC$ .

Gọi I là trung điểm BG

Vì $IG = \dfrac{1}{2} BG$ (do I là trung điểm BG)

$GN = \dfrac{1}{2}BG$ (G là trọng tâm)

$\Rightarrow$ IG = GN

Xét ∆IGG’ và ∆NGA có:

+) IG = GN (chứng minh trên)

+) GG’ = GA (giả thiết)

+) $\widehat {IGG'} = \widehat {NGA}$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy ∆IGG’ = ∆NGA (c.g.c)

⇒ IG’ = AN (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow IG' = \dfrac{{AC}}{2}$

– Gọi K là trung điểm BG’ ⇒ GK là trung tuyến của ∆BGG’

Vì $GE = \dfrac{1}{2} GC$ (G là trọng tâm tam giác ABC)

BG’ = GC (chứng minh trên)

$\Rightarrow GE =\dfrac{1}{2} BG'$

Mà K là trung điểm BG’ ⇒ KG’ = EG

Vì ∆GMC = ∆G’MB (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat {GCM} = \widehat {G'BM}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow CE // BG’ \Rightarrow \widehat {AGE} = \widehat {AG'B}$ (đồng vị)

Xét ∆AGE và ∆GG’K có:

+) EG = KG’ (chứng minh trên)

+) AG = GG’ (giả thiết)

+) $\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}$ (chứng minh trên)

Vậy ∆AGE = ∆GG’K (c.g.c)

$\Rightarrow AE = GK$

Mà $AE = \dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow GK = \dfrac{1}{2} AB$

Vậy $BM = \dfrac{1}{2}BC,G'I = \dfrac{1}{2}AC,GK = \dfrac{1}{2}AB$

Hay mỗi đường trung tuyến của ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC.

Đăng bởi: PPE.Edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục, Lớp 7

Lý thuyết Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2

Bài 23 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)

Bài 24 (trang 66 SGK Toán 7 Tập 2)

Bài 25 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Giải bài tập toán 7 trang 66 tập 2: Luyện tập

Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Bài 27 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Bài 28 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Bài 29 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Bài 30 (trang 67 SGK Toán 7 Tập 2)

Bài viết gần đây

Trả lời Hủy