Bài viết Cách xét Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số.
Cách xét Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
♦ Dãy số (un) gọi là dãy tăng nếu un < un+1 ∀n ∈ ¥
♦ Dãy số (un) gọi là dãy giảm nếu un > un+1 ∀n ∈ ¥
2. Dãy số bị chặn
♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho un < M ∀n ∈ ¥.
♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho un > m∀n ∈ ¥..
♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |un | < M ∀n ∈ ¥..
♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (un) ta xét : kn=(un+1-un)
* Nếu kn > 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) tăng
* Nếu kn < 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) giảm.
Khi un > 0 ∀n ∈ ¥ ta có thể xét
* Nếu tn > 1 ⇒ dãy số (un) tăng
* Nếu tn < 1 ⇒ dãy số (un) giảm
♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy un là dãy giảm và bị chặn.
Đáp án và hướng dẫn giải
Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un > 1∀n ≥ 1
Thật vậy:
Với n = 1 ⇒ u1=2 > 1
Theo nguyên lí quy nạp ta có un > 1 ∀n ≥ 1
Suy ra un-un-1 < 0 ⇔ un < un-1 ∀n ≥ 2 hay dãy (un) giảm
Theo chứng minh trên, ta có: 1 < un < u1=2∀n ≥ 1
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
Bài 2: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn
Đáp án và hướng dẫn giải
Xem thêm : Hướng dẫn kỹ thuật nhân giống hoa hồng môn
Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: u1 < u2 < u3.
* Giả sử uk-1 < uk ∀k ≥ 2, ta chứng minh uk+1 > uk.
Vậy (un) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un < 4 ∀n , hơn nữa un > 0
Nên dãy (un) là dãy bị chặn.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau
Xem thêm : Tiêm filler mũi có nên không? Ưu và nhược điểm khi thực hiện
Lời giải:
1. Ta có:
nên dãy (un) là dãy tăng
2. Ta có:
Nên dãy (un) giảm.
Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) , biết:
Xem thêm : Tiêm filler mũi có nên không? Ưu và nhược điểm khi thực hiện
Lời giải:
1. Ta có:
với mọi n ≥ 1.
Suy ra u(n+1) > un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy tăng.
Mặt khác:
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
2. Ta có:
3. Ta có: un > 0 ∀n ≥ 1
⇒ u(n+1) < un ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy số giảm.
Mặt khác: 0 < un < 1 ⇒ dãy (un) là dãy bị chặn.
Bài 3: Cho dãy số (un):
a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.
Xem thêm : Tiêm filler mũi có nên không? Ưu và nhược điểm khi thực hiện
Lời giải:
a) Với a = 4 ta có:
Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là
u1=6; u2=10/3; u3=14/5; u4=18/7; u5=22/9.
b) Ta có dãy số un tăng khi và chỉ khi
⇒ -a-4 > 0 ⇒ a < -4
Bài 4: Cho dãy số (un)
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh un=3(n-1)+1;n=1,2…
Xem thêm : Tiêm filler mũi có nên không? Ưu và nhược điểm khi thực hiện
Lời giải:
a) Ta có: u1=2;u2=4;u3=10;u4=28;u5=82;u6=244.
b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau
Ta có: un-1=3(u(n-1)-1)=32 (u(n-2)-1)=⋯=3(n-1) (u1-1)
Suy ra: un-1=3(n-1) ⇒ un=1+3(n-1).
Bài 5: Cho dãy số un=-5(n-1)+3n+n+2;n=1,2…
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh rằng: un=2u(n-1)+3(n-1)-n.
Xem thêm : Tiêm filler mũi có nên không? Ưu và nhược điểm khi thực hiện
Lời giải:
Với mọi n =
Suy ra un < u0-n+1=2012-n
Do đó: 2011 – n < un < 2012-n ⇒ [ un ]=2011-n
với n =
Vì u0=2011 và
Nên [u0 ]=2011-0,[u1 ]=2011-1
Vậy [un ]=2011-n,n = .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học
- Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học
- Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số
- Trắc nghiệm xác định số hạng của dãy số
- Trắc nghiệm tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số
- Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng
Săn SALE shopee tháng 11:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L’Oreal mua 1 tặng 3
Nguồn: https://ppe.edu.vn
Danh mục: Tips
